Calculer la dérivée de chaque fonction et l'écrire sous la forme demandée.
- $g_1(x)=x\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : montrer que $g_1'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
- $g_2(x)=\frac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ : écrire $g_2'(x)$ avec un numérateur factorisé.
- $g_3(x)=\frac{1}{x^2-2x+5}$ : justifier que $g_3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $g_3'(x)$.
- $g_4(x)=(x-1)(2x+3)^4$ sur $\mathbb{R}$ : montrer que $g_4'(x)=5(2x-1)(2x+3)^3$.
Pour $g_1$ : $\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$ lorsque $x>0$.
Pour $g_3$ : étudier le signe du trinôme $x^2-2x+5$ avec son discriminant, puis utiliser $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.
Pour $g_4$ : après la formule du produit, mettre $(2x+3)^3$ en facteur.
1. Produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=\sqrt{x}$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour $x>0$ : $$g_1'(x)=\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x},$$ car $\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$.
2. Le dénominateur $x^2+1$ vaut au moins $1$, il ne s'annule pas. Avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$ : $$g_2'(x)=\frac{1\times(x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}.$$
3. Le trinôme $x^2-2x+5$ a pour discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 5=-16<0$. Il ne s'annule pas et garde le signe de son coefficient dominant $1$ : il est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Donc $g_3=\frac{1}{v}$ avec $v(x)=x^2-2x+5$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $v'(x)=2x-2$ : $$g_3'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+5)^2}=\frac{2(1-x)}{(x^2-2x+5)^2}.$$
4. Produit $uv$ avec $u(x)=x-1$, $u'(x)=1$, et $v(x)=(2x+3)^4=g(2x+3)$ où $g(X)=X^4$ : $v'(x)=2\times 4(2x+3)^3=8(2x+3)^3$. Donc $$g_4'(x)=(2x+3)^4+8(x-1)(2x+3)^3=(2x+3)^3\big[(2x+3)+8(x-1)\big]=(2x+3)^3(10x-5).$$ Comme $10x-5=5(2x-1)$, on obtient $g_4'(x)=5(2x-1)(2x+3)^3$.
$g_1'=\frac32\sqrt{x}$ ; $g_2'=\frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$ ; $g_3'=\frac{2(1-x)}{(x^2-2x+5)^2}$ ; $g_4'=5(2x-1)(2x+3)^3$