Exercice corrigé : Encadrement d'une fonction rationnelle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f'(x)=\frac{-2(x+1)(x-2)}{(x^2+2)^2}$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (sans les limites).
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
4. Montrer que, pour tout réel $x$, $-1\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$. Que représentent $-1$ et $\frac{1}{2}$ pour $f$ ?