Prépa, 1re année › Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ › Lemme : $p$ divise $\binom{p}{k}$
Lemme : $p$ divise $\binom{p}{k}$ : énoncé (MPSI)
Propriété
Lemme : $p$ divise $\binom{p}{k}$
Soient $p$ premier et $k \in \{1, \dots, p-1\}$. Alors $p \mid \dbinom{p}{k}$.
Preuve. On a $k\dbinom{p}{k} = p\dbinom{p-1}{k-1}$, donc $p \mid k\dbinom{p}{k}$. Comme $1 \leqslant k \leqslant p - 1$, $p \nmid k$, donc $p \wedge k = 1$. Le lemme de Gauss donne $p \mid \dbinom{p}{k}$.
S’entraîner
- Expressions premières entre elles
- Restes de puissances et divisibilité par congruences
- Équation diophantienne $323x + 391y = c$
- Divisibilités universelles par le petit théorème de Fermat
- PGCD de deux nombres de la forme $2^k - 1$
Dans le cours
Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ : Lemme : $p$ divise $\binom{p}{k}$