Petit théorème de FermatProduit d'entiers premiers entre eux deux à deux divisant un entier
- Soient $p$ un nombre premier et $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $p - 1$ divise $N - 1$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $n^N \equiv n \;[p]$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $30 \mid n^5 - n$. Montrer que $30$ est le plus grand entier naturel qui divise $n^5 - n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $42 \mid n^7 - n$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $2730 \mid n^{13} - n$.
Indice 1
Pour la question 1, distinguer $p \mid n$ et $p \nmid n$, et écrire $N - 1 = (p-1)t$.
Indice 2
Décomposer $30$, $42$ et $2730$ en facteurs premiers, et vérifier l'hypothèse de la question 1 pour chacun.
Indice 3
Des nombres premiers distincts sont premiers entre eux deux à deux : leur produit divise tout entier qu'ils divisent tous.
Indice 4
Pour l'optimalité de $30$, choisir une valeur particulière de $n$.
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