- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fraction $\dfrac{8n+5}{5n+3}$ est irréductible.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(n^2 + n + 1) \wedge (n + 1) = 1$.
- En déduire que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(n^2 + n + 1) \wedge (n^2 + 2n + 1) = 1$.
Chercher des coefficients entiers qui éliminent $n$ dans une combinaison des deux expressions.
Pour la question 1, combiner $5(8n+5)$ et $8(5n+3)$.
Pour la question 2, retrancher à $n^2 + n + 1$ un multiple de $n+1$ bien choisi.
Reconnaître dans $n^2 + 2n + 1$ un carré et utiliser une conséquence du lemme de Gauss.
1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$5(8n+5) - 8(5n+3) = 40n + 25 - 40n - 24 = 1.$$ Par le théorème de Bézout, $(8n+5) \wedge (5n+3) = 1$. Le dénominateur $5n+3$ est strictement positif et premier avec le numérateur : la fraction est irréductible.
2. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(n^2 + n + 1) - n(n+1) = 1$, c'est-à-dire $1 \times (n^2+n+1) + (-n) \times (n+1) = 1$. Par le théorème de Bézout, $(n^2 + n + 1) \wedge (n+1) = 1$.
3. On a $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$. D'après le cours, si $a \wedge b = 1$, alors $a \wedge b^k = 1$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Avec $a = n^2 + n + 1$ et $b = n + 1$, la question 2 donne $(n^2 + n + 1) \wedge (n+1)^2 = 1$, soit $(n^2+n+1) \wedge (n^2 + 2n + 1) = 1$.
Les trois PGCD valent $1$ pour tout $n$