Exercice corrigé : Principe des tiroirs dans un intervalle d'entiers

Soit $n\in\mathbb N^*$ et $A$ une partie de $\llbracket1,2n\rrbracket$ à $n+1$ éléments.

1. Montrer que $A$ contient deux entiers consécutifs. En déduire que $A$ contient deux entiers distincts premiers entre eux.
2. On admet que tout entier $a\ge1$ s'écrit de façon unique $a=2^km$ avec $k\in\mathbb N$ et $m$ impair. En considérant l'application $a\mapsto m$, montrer que $A$ contient deux entiers distincts dont l'un divise l'autre.
3. Montrer qu'aucune des deux conclusions n'est garantie pour une partie à $n$ éléments de $\llbracket1,2n\rrbracket$.