Exercice corrigé : Anagrammes de BARBARA

1. Une anagramme est déterminée par l'ensemble des positions des A (partie à $3$ éléments de $\llbracket1,7\rrbracket$), puis par l'ensemble des positions des B parmi les $4$ positions restantes ; les R occupent les $2$ dernières. Le nombre de choix pour les B ne dépend pas des positions des A, d'où $$\binom{7}{3}\binom{4}{2}=35\times6=210.$$ Contrôle par le lemme des bergers : $\frac{7!}{3!\,2!\,2!}=\frac{5040}{24}=210$.

2. Si les trois A sont consécutifs, ils occupent les positions $i,i+1,i+2$ pour un unique $i\in\llbracket1,5\rrbracket$. En remplaçant ce bloc par un symbole $\square$, on obtient une bijection vers les mots de $5$ symboles formés de $\square$, de deux B et de deux R (l'opération inverse remplace $\square$ par AAA). Ces mots sont déterminés par la position de $\square$ ($5$ choix) puis par celles des B parmi les $4$ restantes ($\binom42=6$ choix) : il y en a $5\times6=30$.

3. On écrit d'abord le mot formé des $4$ lettres autres que A (deux B, deux R) : $\binom42=6$ possibilités. Ce mot délimite $5$ emplacements : avant la première lettre, entre deux lettres consécutives ($3$ emplacements), après la dernière. Une anagramme sans deux A adjacents s'obtient en mettant les trois A dans $3$ emplacements distincts, un A par emplacement. Réciproquement, une telle anagramme détermine le mot en B et R (on efface les A) et les $3$ emplacements utilisés, puisque deux A ne sont jamais voisins. C'est une bijection, d'où $6\times\binom53=6\times10=60$ anagrammes.

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