Prouver qu'une application est bijective en dimension finie : méthode (MPSI)

Pour montrer que $f:E\to F$ est bijective avec $E$, $F$ finis :

1. on vérifie que $\operatorname{Card}E=\operatorname{Card}F$ ;
2. on démontre seulement l'injectivité (souvent la plus facile : $f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$), ou seulement la surjectivité ;
3. on conclut par le théorème.

Exemple : $p$ premier, $a\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$. L'application $x\mapsto$ reste de $ax$ modulo $p$ va de $\llbracket 1,p-1\rrbracket$ dans lui-même (car $p\nmid ax$). Elle est injective : si $ax\equiv ax'\ [p]$, alors $p\mid a(x-x')$, donc $p\mid x-x'$ par le lemme d'Euclide, et $|x-x'|<p$ impose $x=x'$. Elle est donc bijective.