Définition du déterminant d'un endomorphisme : énoncé (MPSI)

Pour $f\in\Lambda_n(E)$, on pose $f_u(x_1,\dots,x_n)=f(u(x_1),\dots,u(x_n))$. Comme $u$ est linéaire, $f_u$ est $n$-linéaire ; si $x_i=x_j$ avec $i\neq j$, alors $u(x_i)=u(x_j)$ et $f_u(x_1,\dots,x_n)=0$. Donc $f_u\in\Lambda_n(E)$.

Fixons une base $\mathcal B$ et posons $c=\det_{\mathcal B}(u(e_1),\dots,u(e_n))$. D'après le théorème de structure, $(\det_{\mathcal B})_u=(\det_{\mathcal B})_u(\mathcal B)\det_{\mathcal B}=c\det_{\mathcal B}$. Toute $f\in\Lambda_n(E)$ s'écrit $f=\lambda\det_{\mathcal B}$, donc $f_u=\lambda(\det_{\mathcal B})_u=c\lambda\det_{\mathcal B}=cf$. Le scalaire $c$ convient.

Unicité : si $c'$ convient aussi, on applique la relation à $f=\det_{\mathcal B}$ et $(x_1,\dots,x_n)=\mathcal B$ : $c=c'\det_{\mathcal B}(\mathcal B)=c'$.

Indépendance : pour une autre base $\mathcal B'$, la relation avec $f=\det_{\mathcal B'}$ et $(x_i)=\mathcal B'$ donne $\det_{\mathcal B'}(u(\mathcal B'))=\det(u)$.