Soit $$A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&5&1&3\\-1&0&3&1\\3&6&1&5\end{pmatrix}.$$
- Calculer $\det A$ par la méthode du pivot.
- En déduire $\det(A^T)$, $\det(-A)$, $\det(A^3)$. Justifier que $A$ est inversible et donner $\det(A^{-1})$.
Le coefficient $1$ en position $(1,1)$ est un pivot commode : annuler le reste de la première colonne par des opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_1$.
Ces opérations ne changent pas le déterminant. Continuer jusqu'à obtenir une matrice triangulaire.
Attention : $A$ est de taille $4$, donc $\det(\lambda A)=\lambda^4\det A$.
- On n'utilise que des opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ avec $j\neq i$, effectuées successivement : elles ne changent pas le déterminant.
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3+L_1$, $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ (chacune utilise $L_1$, qui n'est pas modifiée) : $$\det A=\det\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\0&2&3&2\\0&0&1&2\end{pmatrix}.$$ $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ : $$\det A=\det\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&1&2\end{pmatrix}.$$ $L_4\leftarrow L_4-L_3$ : $$\det A=\det\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}.$$ La matrice est triangulaire supérieure, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux : $\det A=1\times1\times1\times2=2$.
- $\det(A^T)=\det A=2$. Comme $A\in\mathcal M_4(\mathbb R)$, $\det(-A)=(-1)^4\det A=2$. Par multiplicativité, $\det(A^3)=(\det A)^3=8$. Enfin $\det A=2\neq0$, donc $A$ est inversible et $\det(A^{-1})=\dfrac1{\det A}=\dfrac12$.
$\det A=2$ ; $\det(A^T)=2$, $\det(-A)=2$, $\det(A^3)=8$, $\det(A^{-1})=\frac12$