Soit $n\geqslant2$ et $\sigma_n\in\mathcal S_n$ définie par $\sigma_n(k)=n+1-k$.
- Compter les inversions de $\sigma_n$ et en déduire $\varepsilon(\sigma_n)$.
- On écrit $n=2p$ ou $n=2p+1$. Écrire $\sigma_n$ comme produit de $p$ transpositions à supports disjoints et retrouver le résultat de la question 1.
- Soit $A_n\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ de coefficients $a_{ij}=1$ si $i+j=n+1$ et $a_{ij}=0$ sinon. Montrer que $\det A_n=\varepsilon(\sigma_n)$.
- Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $\det A_n=1$ ?
Pour $i<j$, comparer $\sigma_n(i)$ et $\sigma_n(j)$ : tous les couples sont-ils des inversions ?
$\sigma_n$ échange $1$ et $n$, $2$ et $n-1$, etc. Comparer ensuite les parités de $p$ et de $n(n-1)/2$.
La $j$-ième colonne de $A_n$ est un vecteur de la base canonique : lequel ?
-
Pour $i<j$, on a $\sigma_n(i)=n+1-i>n+1-j=\sigma_n(j)$. Tous les couples $(i,j)$ avec $i<j$ sont des inversions ; il y en a $\binom n2=\dfrac{n(n-1)}2$. Donc $$\varepsilon(\sigma_n)=(-1)^{n(n-1)/2}.$$
-
Pour $1\leqslant k\leqslant p$, on a $k<n+1-k$ (car $2k\leqslant 2p\leqslant n<n+1$). Les transpositions $(k\ \ n+1-k)$, $1\leqslant k\leqslant p$, ont des supports deux à deux disjoints, et leur produit envoie $k$ sur $n+1-k$ et $n+1-k$ sur $k$ ; si $n=2p+1$, l'élément $p+1$ vérifie $\sigma_n(p+1)=p+1$ et est fixé par toutes ces transpositions. Donc $$\sigma_n=\prod_{k=1}^{p}(k\ \ n+1-k),\qquad \varepsilon(\sigma_n)=(-1)^p.$$ Cohérence : si $n=2p$, $\frac{n(n-1)}2=p(2p-1)$, de même parité que $p$ car $2p-1$ est impair ; si $n=2p+1$, $\frac{n(n-1)}2=(2p+1)p$, de même parité que $p$. Les deux calculs concordent.
-
Notons $(E_1,\dots,E_n)$ la base canonique $\mathcal B_c$ de $\mathbb R^n$. La $j$-ième colonne de $A_n$ a un unique coefficient non nul, égal à $1$, sur la ligne $i=n+1-j$ : c'est $E_{n+1-j}=E_{\sigma_n(j)}$. Par l'effet d'une permutation sur une forme $n$-linéaire alternée, $$\det A_n=\det\nolimits_{\mathcal B_c}(E_{\sigma_n(1)},\dots,E_{\sigma_n(n)})=\varepsilon(\sigma_n)\det\nolimits_{\mathcal B_c}(E_1,\dots,E_n)=\varepsilon(\sigma_n).$$
-
$\det A_n=1$ si et seulement si $p$ est pair. Si $n=2p$ avec $p$ pair, $n\equiv0\pmod 4$ ; si $n=2p+1$ avec $p$ pair, $n\equiv1\pmod4$. Donc $\det A_n=1$ si et seulement si $n\equiv0$ ou $1\pmod4$, et $\det A_n=-1$ si $n\equiv2$ ou $3\pmod 4$.
$\varepsilon(\sigma_n)=\det A_n=(-1)^{n(n-1)/2}$ ; $\det A_n=1\iff n\equiv0$ ou $1\pmod4$