Lemme fondamental : énoncé (MPSI)

Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{H}_n$ : « dans tout espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée ».

Initialisation. Un espace engendré par $0$ vecteur est $\{0\}$ ; une famille d'un vecteur de $\{0\}$ est $(0)$, liée.

Hérédité. Soit $n \geq 1$ tel que $\mathcal{H}_{n-1}$ soit vraie. Soit $E = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$, $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ et $x_1, \dots, x_{n+1} \in E$. On écrit $x_j = a_j e_n + y_j$ avec $a_j \in \mathbb{K}$ et $y_j \in F$.

• Si tous les $a_j$ sont nuls, $x_1, \dots, x_n$ sont $n$ vecteurs de $F$, espace engendré par $n-1$ vecteurs : par $\mathcal{H}_{n-1}$, ils forment une famille liée, donc $(x_1, \dots, x_{n+1})$ est liée.
• Sinon, quitte à renuméroter, $a_{n+1} \neq 0$. Pour $j \in \{1, \dots, n\}$, on pose $z_j = x_j - \frac{a_j}{a_{n+1}} x_{n+1} = y_j - \frac{a_j}{a_{n+1}} y_{n+1} \in F$. Par $\mathcal{H}_{n-1}$, la famille $(z_1, \dots, z_n)$ est liée : il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \neq (0, \dots, 0)$ tel que $\sum_{j=1}^n \lambda_j z_j = 0$, c'est-à-dire $$\sum_{j=1}^n \lambda_j x_j - \Big(\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j a_j}{a_{n+1}}\Big) x_{n+1} = 0.$$ Un des $\lambda_j$ est non nul : c'est une relation de liaison non triviale entre $x_1, \dots, x_{n+1}$.

Dans les deux cas, $\mathcal{H}_n$ est vraie.