Prépa, 1re année › Dimension finie › Montrer qu'une famille est une base
Montrer qu'une famille est une base : méthode (MPSI)
Méthode
Montrer qu'une famille est une base
Si l'on connaît $\dim E = n$ et que la famille a exactement $n$ vecteurs, il suffit de vérifier une seule des deux propriétés : liberté (souvent la plus simple) ou caractère générateur.
Exemple
Une base de $\mathbb{R}_2[X]$
La famille $(1, X-1, (X-1)^2)$ est formée de polynômes de degrés $0, 1, 2$ deux à deux distincts : elle est libre (famille de polynômes de degrés échelonnés). Elle compte $3 = \dim \mathbb{R}_2[X]$ vecteurs : c'est une base.
Coordonnées de $X^2$ : $(X-1)^2 + 2(X-1) + 1 = X^2 - 2X + 1 + 2X - 2 + 1 = X^2$, donc les coordonnées sont $(1, 2, 1)$.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$