Exercice corrigé : Indice de nilpotence et dimension

1. Comme $u^{p-1} \neq 0$, il existe $x \in E$ tel que $u^{p-1}(x) \neq 0$. Supposons qu'il existe $(\lambda_0, \dots, \lambda_{p-1}) \neq (0, \dots, 0)$ tel que $\sum_{k=0}^{p-1} \lambda_k u^k(x) = 0$. Soit $j$ le plus petit indice tel que $\lambda_j \neq 0$ : la relation s'écrit $\sum_{k=j}^{p-1} \lambda_k u^k(x) = 0$. On lui applique l'application linéaire $u^{p-1-j}$ : $$\sum_{k=j}^{p-1} \lambda_k u^{k + p - 1 - j}(x) = 0.$$ Pour $k > j$, on a $k + p - 1 - j \geq p$, donc $u^{k+p-1-j} = u^{k-1-j} \circ u^p = 0$. Il reste $\lambda_j u^{p-1}(x) = 0$ avec $u^{p-1}(x) \neq 0$, d'où $\lambda_j = 0$ : contradiction. La famille $(x, u(x), \dots, u^{p-1}(x))$ est libre.

2. C'est une famille libre de $p$ vecteurs de $E$, de dimension $n$ : par le lemme fondamental, $p \leq n$. Alors $u^n = u^{n-p} \circ u^p = 0$.

3. Si $p = n$, la famille $\mathcal{B} = (x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ est libre et compte $n = \dim E$ vecteurs : c'est une base de $E$.

L'image de $\mathcal{B}$ par $u$ est $(u(x), u^2(x), \dots, u^{n-1}(x), u^n(x))$ avec $u^n(x) = 0$. Donc $\operatorname{Im} u = \operatorname{Vect}(u(x), \dots, u^{n-1}(x))$. Cette famille de $n - 1$ vecteurs est une sous-famille de $\mathcal{B}$, donc libre : $\operatorname{rg} u = n - 1$.

Par le théorème du rang, $\dim \operatorname{Ker} u = n - (n - 1) = 1$. Or $u(u^{n-1}(x)) = u^n(x) = 0$ et $u^{n-1}(x) \neq 0$ : ce vecteur engendre une droite contenue dans $\operatorname{Ker} u$, de même dimension, donc $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}(u^{n-1}(x))$.

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