Prépa, 1re année › Dimension finie › Dimension d'un produit
Dimension d'un produit : énoncé (MPSI)
Propriété
Dimension d'un produit
Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $E \times F$ est de dimension finie et $$\dim(E \times F) = \dim E + \dim F.$$ Plus généralement, $\dim(E_1 \times \dots \times E_p) = \sum_{i=1}^p \dim E_i$.
Démonstration : Dimension d'un produit
Démonstration
Preuve
Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $(f_1, \dots, f_m)$ une base de $F$. Pour $(x, y) \in E \times F$, avec $x = \sum \lambda_i e_i$ et $y = \sum \mu_j f_j$, on a $(x, y) = \sum \lambda_i (e_i, 0) + \sum \mu_j (0, f_j)$, et cette écriture est unique car les coordonnées de $x$ et $y$ le sont. La famille $((e_1,0), \dots, (e_n,0), (0,f_1), \dots, (0,f_m))$ est donc une base de $E \times F$, de cardinal $n + m$. Le cas général s'obtient par récurrence sur $p$.
S’entraîner
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- Rang d'une somme d'applications linéaires