Invariance du cardinal des bases et définition de la dimension : énoncé (MPSI)
Invariance du cardinal des bases et définition de la dimension
Si $E$ est de dimension finie, toutes les bases de $E$ sont finies et ont le même cardinal. Ce cardinal commun est appelé dimension de $E$ et noté $\dim E$ (ou $\dim_{\mathbb{K}} E$). Par convention, $\dim \{0\} = 0$.
Démonstration : Invariance du cardinal des bases et définition de la dimension
Preuve
Soit $\mathcal{B}$ une base finie de $E$ à $n$ vecteurs (il en existe d'après la section précédente). Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ vecteurs par le lemme fondamental, donc toute base $\mathcal{B}'$ est finie, de cardinal $p \leq n$. En échangeant les rôles, $\mathcal{B}'$ engendre $E$ et $\mathcal{B}$ est libre, donc $n \leq p$. Ainsi $p = n$.
Dimensions usuelles
| Espace | Base usuelle | Dimension |
|---|---|---|
| $\mathbb{K}^n$ | base canonique | $n$ |
| $\mathbb{K}_n[X]$ | $(1, X, \dots, X^n)$ | $n+1$ |
| $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ | $(E_{i,j})$ | $np$ |
| $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{R}$-espace | $(1, i)$ | $2$ |
| $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{C}$-espace | $(1)$ | $1$ |
L'ensemble des suites $(u_n)$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ vérifiant $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ (avec $a, b \in \mathbb{K}$ fixés) est de dimension $2$ : l'application $u \mapsto (u_0, u_1)$ est un isomorphisme vers $\mathbb{K}^2$ (voir la section sur les applications linéaires). De même, les solutions de $y'' + a y' + b y = 0$ forment un espace de dimension $2$.
La dimension dépend du corps
$\mathbb{C}^n$ est de dimension $n$ sur $\mathbb{C}$ et de dimension $2n$ sur $\mathbb{R}$ (base $(e_1, i e_1, \dots, e_n, i e_n)$). En cas d'ambiguïté, on précise $\dim_{\mathbb{R}}$ ou $\dim_{\mathbb{C}}$.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
Dans le cours
Dimension finie : Invariance du cardinal des bases et définition de la dimension