Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Unicité du plus grand élément
Unicité du plus grand élément : énoncé (MPSI)
Propriété
Unicité du plus grand élément
Si une partie $A$ admet un plus grand élément, celui-ci est unique.
Démonstration. Soit $M$ et $M'$ deux plus grands éléments de $A$. Comme $M' \in A$ et $M$ majore $A$, $M' \preccurlyeq M$. Symétriquement, $M \preccurlyeq M'$. Par antisymétrie, $M = M'$.
Exemple
Majorant sans plus grand élément
- Dans $(\mathcal{P}(E), \subset)$ avec $a \neq b$ dans $E$, la partie $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ admet $\{a, b\}$ pour majorant, mais n'a pas de plus grand élément : aucun de ses deux éléments ne contient l'autre.
- Dans $(\mathbb{N}, |)$, les majorants de $\{4, 6\}$ sont les multiples communs de $4$ et $6$, c'est-à-dire les multiples de $12$. Aucun n'appartient à $\{4, 6\}$, donc pas de plus grand élément ; en revanche $12$ est le plus petit des majorants.
- Dans $(\mathbb{R}, \leq)$, $[0, 1[$ est majoré par $1$ mais n'a pas de plus grand élément.
S’entraîner
- Une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}$
- L'ordre produit sur $\mathbb{R}^2$
- Applications idempotentes et applications vérifiant $f \circ f \circ f = f$ (type Mines-Ponts)