Démontrer qu'une relation est une relation d'équivalenceDécrire les classes d'équivalenceTrouver un système de représentants
Sur $\mathbb{R}$, on définit la relation $x \sim y \iff x^2 - y^2 = x - y$.
- Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
- Déterminer la classe d'équivalence de tout réel $x$. Quelle est la classe de $3$ ? Quelles classes sont des singletons ?
- Montrer que chaque classe contient un et un seul élément de $\left[\frac12, +\infty\right[$.
Indice 1
Mettre la relation sous la forme $\varphi(x) = \varphi(y)$ pour une fonction $\varphi$ bien choisie.
Indice 2
Factoriser $x^2 - y^2 - (x - y)$.
Indice 3
Comparer $x$ et $1 - x$ à $\frac12$.
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