Exercice corrigé : Applications idempotentes et applications vérifiant $f \circ f \circ f = f$ (type Mines-Ponts)

Soit $E$ un ensemble non vide.

Partie A. Soit $p : E \to E$ telle que $p \circ p = p$.

1. Montrer que $\mathrm{Im}\, p = \{x \in E \mid p(x) = x\}$.
2. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : $p$ injective ; $p$ surjective ; $p = \mathrm{id}_E$.
3. On définit sur $E$ la relation $x \sim y \iff p(x) = p(y)$. Justifier que c'est une relation d'équivalence, puis montrer que chaque classe d'équivalence contient un et un seul élément de $\mathrm{Im}\, p$.
4. Exemple : $E = \mathbb{R}$ et $p(x) = \lfloor x \rfloor$. Vérifier que $p \circ p = p$, déterminer $\mathrm{Im}\, p$ et la classe d'un réel $x$.

Partie B. Soit $f : E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = f$. 5. Montrer que $f \circ f$ vérifie l'hypothèse de la partie A. 6. Montrer que $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective, et que dans ce cas $f$ est une involution. 7. Soit $E = \{1, 2, 3\}$ et $f$ définie par $f(1) = 2$, $f(2) = 1$, $f(3) = 1$. Vérifier que $f \circ f \circ f = f$, que $f$ n'est ni injective ni surjective, que $f \circ f \neq f$ et que $f \circ f \neq \mathrm{id}_E$. Déterminer l'ensemble des points fixes de $f \circ f$.