Démontrer qu'une relation est une relation d'ordreDistinguer ordre total et ordre partielDéterminer les majorants et le plus grand élément d'une partie
Sur $\mathbb{R}^2$, on définit $(x, y) \preccurlyeq (x', y') \iff (x \leq x' \text{ et } y \leq y')$.
- Montrer que $\preccurlyeq$ est une relation d'ordre sur $\mathbb{R}^2$.
- Cet ordre est-il total ?
- Soit $A = \{(1, 0), (0, 1)\}$. Déterminer l'ensemble des majorants de $A$. La partie $A$ a-t-elle un plus grand élément ? L'ensemble des majorants a-t-il un plus petit élément ?
- Montrer que $C = [0, 1]^2$ a un plus grand élément.
Indice 1
Chaque propriété découle de la propriété correspondante de $\leq$ sur $\mathbb{R}$, appliquée à chaque composante.
Indice 2
Pour la question 2, chercher deux couples dont l'un a la plus grande première composante et l'autre la plus grande seconde.
Indice 3
$(a, b)$ majore $A$ si et seulement si $(1,0) \preccurlyeq (a,b)$ et $(0,1) \preccurlyeq (a,b)$.
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