On définit $\varphi$ sur $\mathbb{R}_2[X]$ par $\varphi(P)=(X+1)P'-P$.
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
- Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(X)$, $\varphi(X^2)$.
- Déterminer $\ker\varphi$ et $\operatorname{Im}\varphi$. L'endomorphisme $\varphi$ est-il injectif ? surjectif ?
- Montrer que $\mathbb{R}_2[X]=\ker\varphi\oplus\operatorname{Im}\varphi$.
Penser au degré de $(X+1)P'$ quand $\deg P\leq 2$.
Écrire $P=a+bX+cX^2$ et utiliser la linéarité avec la question 2.
Pour la question 4, identifier les coefficients.
1. Si $\deg P\leq 2$, alors $\deg P'\leq 1$, donc $\deg\big((X+1)P'\big)\leq 2$ et $\varphi(P)\in\mathbb{R}_2[X]$. La dérivation est linéaire, donc $\varphi(\lambda P+\mu Q)=(X+1)(\lambda P'+\mu Q')-\lambda P-\mu Q=\lambda\varphi(P)+\mu\varphi(Q)$. $\varphi$ est un endomorphisme.
2. $\varphi(1)=0-1=-1$ ; $\varphi(X)=(X+1)-X=1$ ; $\varphi(X^2)=2X(X+1)-X^2=X^2+2X$.
3. Pour $P=a+bX+cX^2$, par linéarité :
$$\varphi(P)=-a+b+c(X^2+2X).$$
Noyau. $\varphi(P)=0\iff c=0$ et $b=a$ (identification des coefficients de $X^2$, puis des constantes ; le coefficient de $X$ vaut $2c$). Donc $\ker\varphi=\{a(1+X)\}=\mathrm{Vect}(1+X)$. Vérification : $\varphi(1+X)=(X+1)-(1+X)=0$. $\varphi$ n'est pas injective.
Image. $\operatorname{Im}\varphi=\mathrm{Vect}\big(-1,\,1,\,X^2+2X\big)=\mathrm{Vect}(1,\,X^2+2X)$. Le polynôme $X$ n'est pas dans l'image : si $X=\alpha+\beta(X^2+2X)$, le coefficient de $X^2$ donne $\beta=0$, puis celui de $X$ donne $1=0$, absurde. $\varphi$ n'est pas surjective.
4. Intersection. Si $t(1+X)=\alpha+\beta(X^2+2X)$, alors (coefficient de $X^2$) $\beta=0$, puis (coefficient de $X$) $t=0$. Donc $\ker\varphi\cap\operatorname{Im}\varphi=\{0\}$.
Somme. Soit $Q=a+bX+cX^2$. On cherche $t,\alpha,\beta$ avec $t(1+X)+\alpha+\beta(X^2+2X)=Q$, soit $\beta=c$, $t+2\beta=b$, $t+\alpha=a$. On trouve $\beta=c$, $t=b-2c$, $\alpha=a-b+2c$, qui conviennent.
Donc $\mathbb{R}_2[X]=\ker\varphi\oplus\operatorname{Im}\varphi$.
$\ker\varphi=\mathrm{Vect}(1+X)$, $\operatorname{Im}\varphi=\mathrm{Vect}(1,X^2+2X)$ ; ni injectif ni surjectif ; somme directe égale à $\mathbb{R}_2[X]$.