Dans $E=\mathbb{R}_3[X]$, on pose $F=\{P\in E\mid P(1)=P(-1)=0\}$ et $G=\mathbb{R}_1[X]$.
- Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Montrer que $F=\mathrm{Vect}(X^2-1,\ X^3-X)$.
- Montrer que $E=F\oplus G$.
- Donner l'expression du projecteur $q$ sur $G$ parallèlement à $F$, puis décomposer $X^3+X^2$ selon $F\oplus G$.
Un polynôme qui s'annule en $1$ et en $-1$ est divisible par $(X-1)(X+1)$.
En analyse, si $P=A+B$ avec $A\in F$ et $B=aX+b$, évaluer en $1$ et en $-1$.
1. Le polynôme nul s'annule en $1$ et $-1$. Si $P,Q\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, alors $(\lambda P+\mu Q)(1)=\lambda P(1)+\mu Q(1)=0$ et de même en $-1$. Donc $F$ est un sev de $E$.
2. Si $P\in F$, $1$ et $-1$ sont racines de $P$, donc $(X-1)(X+1)=X^2-1$ divise $P$ : $P=(X^2-1)Q$. Comme $\deg P\leq 3$, $\deg Q\leq 1$, soit $Q=\alpha X+\beta$, et $P=\alpha(X^3-X)+\beta(X^2-1)$. Réciproquement, $X^2-1$ et $X^3-X=X(X^2-1)$ sont dans $F$, donc toute combinaison linéaire aussi. Ainsi $F=\mathrm{Vect}(X^2-1,X^3-X)$.
3. Soit $P\in E$.
Analyse. Supposons $P=A+B$ avec $A\in F$ et $B=aX+b\in G$. En évaluant en $1$ et $-1$ : $a+b=P(1)$ et $-a+b=P(-1)$. Donc
$$b=\frac{P(1)+P(-1)}{2},\qquad a=\frac{P(1)-P(-1)}{2},$$
puis $A=P-B$. La décomposition est unique.
Synthèse. On pose $B=aX+b$ avec ces valeurs et $A=P-B$. Alors $B\in G$, $A\in\mathbb{R}_3[X]$, $A(1)=P(1)-(a+b)=0$ et $A(-1)=P(-1)-(-a+b)=0$, donc $A\in F$, et $A+B=P$.
Donc $E=F\oplus G$.
4. Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ associe à $P$ sa composante $B$ :
$$q(P)=\frac{P(1)-P(-1)}{2}X+\frac{P(1)+P(-1)}{2}.$$
Pour $P=X^3+X^2$ : $P(1)=2$, $P(-1)=0$, donc $q(P)=X+1$ et $A=X^3+X^2-X-1=(X^2-1)(X+1)\in F$. Ainsi $X^3+X^2=(X^3+X^2-X-1)+(X+1)$.
$q(P)=\frac{P(1)-P(-1)}{2}X+\frac{P(1)+P(-1)}{2}$ ; $X^3+X^2=(X^3+X^2-X-1)+(X+1)$.