Caractérisation des symétries : énoncé (MPSI)
Caractérisation des symétries
- Si $s$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$, alors $s\circ s=\mathrm{id}_E$, $F=\ker(s-\mathrm{id}_E)$ et $G=\ker(s+\mathrm{id}_E)$.
- Réciproquement, si $s\in\mathcal{L}(E)$ vérifie $s\circ s=\mathrm{id}_E$, alors $E=\ker(s-\mathrm{id}_E)\oplus\ker(s+\mathrm{id}_E)$ et $s$ est la symétrie par rapport à $\ker(s-\mathrm{id}_E)$ parallèlement à $\ker(s+\mathrm{id}_E)$.
En particulier une symétrie est un automorphisme, et $s^{-1}=s$.
Démonstration : Caractérisation des symétries
Preuve
Sens direct. $s(s(x))=s(x_F-x_G)=x_F-(-x_G)=x_F+x_G=x$. Ensuite $s(x)=x\iff x_F-x_G=x_F+x_G\iff x_G=0_E\iff x\in F$, et $s(x)=-x\iff x_F=0_E\iff x\in G$.
Réciproque. Notons $F=\ker(s-\mathrm{id}_E)$ et $G=\ker(s+\mathrm{id}_E)$.
- Si $x\in F\cap G$, alors $x=s(x)=-x$, donc $2x=0_E$ et $x=0_E$.
- Pour $x\in E$, on écrit $x=\dfrac{x+s(x)}{2}+\dfrac{x-s(x)}{2}$. Comme $s\circ s=\mathrm{id}_E$ : $s\left(\frac{x+s(x)}{2}\right)=\frac{s(x)+x}{2}$, donc le premier terme est dans $F$ ; $s\left(\frac{x-s(x)}{2}\right)=\frac{s(x)-x}{2}$, donc le second est dans $G$.
Ainsi $E=F\oplus G$, et $s(x)=x_F+s(x_G)=x_F-x_G$ : $s$ est la symétrie annoncée.
Symétrie associée à un projecteur de R^2
Soit $F=\mathrm{Vect}((1,0))$ et $G=\mathrm{Vect}((1,1))$, supplémentaires dans $\mathbb{R}^2$. On écrit $(x,y)=a(1,0)+b(1,1)$ : $b=y$ et $a=x-y$.
- Projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ : $p(x,y)=(x-y,0)$.
- Symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ : $s=2p-\mathrm{id}$, soit $s(x,y)=(2x-2y-x,\ -y)=(x-2y,\ -y)$.
Vérification : $s(s(x,y))=s(x-2y,-y)=\big(x-2y-2(-y),\ y\big)=(x,y)$.
La transposition
L'application $\tau:\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $M\mapsto M^\top$, est linéaire et vérifie $\tau\circ\tau=\mathrm{id}$. C'est donc une symétrie, par rapport à $\ker(\tau-\mathrm{id})=\mathcal{S}_n(\mathbb{K})$ parallèlement à $\ker(\tau+\mathrm{id})=\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$. On retrouve $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})=\mathcal{S}_n(\mathbb{K})\oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$, et $M\mapsto\frac{M+M^\top}{2}$ est le projecteur sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{K})$ parallèlement à $\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$.
Vocabulaire
On dit aussi « projecteur » pour tout endomorphisme vérifiant $p\circ p=p$ (on parle d'endomorphisme idempotent) : le théorème de caractérisation montre que les deux notions coïncident. Attention à l'ordre des mots : « sur $F$ » désigne l'image, « parallèlement à $G$ » désigne le noyau.
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Caractérisation des symétries