Caractérisation des projecteurs : énoncé (MPSI)

Invariance de l'image. Si $y\in\operatorname{Im} p$, $y=p(z)$, alors $p(y)=p(p(z))=p(z)=y$. Donc $\operatorname{Im} p\subset\ker(p-\mathrm{id}_E)$, et l'inclusion inverse est claire ($y=p(y)$ est une image).

Intersection. Si $y\in\operatorname{Im} p\cap\ker p$, alors $y=p(y)=0_E$.

Somme. Pour $x\in E$, on écrit $x=p(x)+(x-p(x))$. On a $p(x)\in\operatorname{Im} p$, et $p(x-p(x))=p(x)-p(p(x))=0_E$, donc $x-p(x)\in\ker p$.

Ainsi $E=\operatorname{Im} p\oplus\ker p$. Dans cette décomposition, la composante de $x$ sur $\operatorname{Im} p$ est $p(x)$ : $p$ est bien le projecteur sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\ker p$.