Reconnaître un projecteur et trouver ses éléments : méthode (MPSI)
Reconnaître un projecteur et trouver ses éléments
- Vérifier que $p$ est linéaire.
- Calculer $p\circ p$ et vérifier $p\circ p=p$.
- Déterminer $F=\operatorname{Im} p$, ou de façon équivalente $F=\{x\mid p(x)=x\}$ (souvent plus simple à résoudre).
- Déterminer $G=\ker p$.
- Conclure : $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.
Pour construire un projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ donnés : décomposer un vecteur quelconque $x=x_F+x_G$ (souvent en résolvant un petit système), puis poser $p(x)=x_F$.
Un projecteur de R^2
Soit $p:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $p(x,y)=(2x-2y,\ x-y)$. Elle est linéaire.
- $p\circ p$ : $p(2x-2y,x-y)=\big(2(2x-2y)-2(x-y),\ (2x-2y)-(x-y)\big)=(2x-2y,\ x-y)$. Donc $p\circ p=p$.
- $p(x,y)=(x-y)(2,1)$, donc $\operatorname{Im} p\subset\mathrm{Vect}((2,1))$, et $p(1,0)=(2,1)$ donne l'égalité : $\operatorname{Im} p=\mathrm{Vect}((2,1))$.
- $p(x,y)=0\iff x=y$, donc $\ker p=\mathrm{Vect}((1,1))$.
$p$ est le projecteur sur la droite $\mathrm{Vect}((2,1))$ parallèlement à la droite $\mathrm{Vect}((1,1))$.
Projection sur un plan de R^3
Reprenons $\mathbb{R}^3=P\oplus D$ avec $P:x+y+z=0$ et $D=\mathrm{Vect}((1,1,1))$. On a vu que $u=(u-\lambda w)+\lambda w$ avec $\lambda=\frac{x+y+z}{3}$ et $w=(1,1,1)$. Le projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ est donc
$$p(x,y,z)=\left(\frac{2x-y-z}{3},\ \frac{-x+2y-z}{3},\ \frac{-x-y+2z}{3}\right).$$
Contrôle : la somme des coordonnées est $0$, donc $p(u)\in P$, et $p(1,1,1)=(0,0,0)$.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Reconnaître un projecteur de R^3
- Un plan, une droite, projecteur et symétrie
- Supplémentaire dans un espace de polynômes
- Noyaux, images et composition
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Reconnaître un projecteur et trouver ses éléments