Propriétés d'un projecteur : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés d'un projecteur

Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. Alors :

$p\in\mathcal{L}(E)$ ;
$p\circ p=p$ ;
$\operatorname{Im} p=F=\ker(p-\mathrm{id}_E)=\{x\in E\mid p(x)=x\}$ et $\ker p=G$ ;
$q=\mathrm{id}_E-p$ est le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$, et $p\circ q=q\circ p=0$.

Démonstration : Propriétés d'un projecteur

Démonstration

Preuve

Si $x=x_F+x_G$ et $y=y_F+y_G$, alors $\lambda x+\mu y=(\lambda x_F+\mu y_F)+(\lambda x_G+\mu y_G)$ avec le premier terme dans $F$ et le second dans $G$. Par unicité, $p(\lambda x+\mu y)=\lambda x_F+\mu y_F=\lambda p(x)+\mu p(y)$.
Pour $y\in F$, la décomposition de $y$ est $y=y+0_E$, donc $p(y)=y$. Comme $p(x)\in F$, $p(p(x))=p(x)$.
Par définition, $\operatorname{Im} p\subset F$ ; on vient de voir que tout $y\in F$ vérifie $p(y)=y$, donc $F\subset\ker(p-\mathrm{id}_E)\subset\operatorname{Im} p$. D'où l'égalité des trois ensembles. Enfin $p(x)=0_E\iff x_F=0_E\iff x=x_G\iff x\in G$.
$q(x)=x-x_F=x_G$ : c'est le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$. Puis $p(q(x))=p(x_G)=0_E$ et $q(p(x))=q(x_F)=0_E$.

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