Exercice corrigé : Noyau et image en somme directe

Sujet type Mines-Ponts. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mathcal{L}(E)$. On note $f^2=f\circ f$ et $f^3=f\circ f\circ f$.

1. Montrer que $\ker f\subset\ker f^2$ et $\operatorname{Im} f^2\subset\operatorname{Im} f$.
2. Montrer que $\ker f\cap\operatorname{Im} f=\{0_E\}$ si et seulement si $\ker f^2=\ker f$.
3. Montrer que $E=\ker f+\operatorname{Im} f$ si et seulement si $\operatorname{Im} f^2=\operatorname{Im} f$.
4. Dans $E=\mathbb{K}[X]$, étudier les deux conditions pour la dérivation $D$, puis pour $M:P\mapsto XP$. Que montrent ces exemples ?
5. On suppose $f^3=f$. Montrer que $E=\ker f\oplus\operatorname{Im} f$, que $f^2$ est le projecteur sur $\operatorname{Im} f$ parallèlement à $\ker f$, et que pour tout $y\in\operatorname{Im} f$, $f(y)\in\operatorname{Im} f$ et $f(f(y))=y$.
6. Vérifier ces résultats pour $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, $f(x,y,z)=(y,x,0)$.