Logarithme de base $a$ : définition (MPSI)
Logarithme de base $a$
Pour $a > 0$ avec $a \neq 1$, on pose, pour $x > 0$ : $$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$$ C'est l'unique fonction proportionnelle à $\ln$ qui vaut $1$ en $a$ ; elle vérifie les mêmes règles de calcul que $\ln$. Le logarithme décimal est $\log_{10}$ : $\log_{10}(1000) = \dfrac{3\ln 10}{\ln 10} = 3$. Le logarithme de base $2$ sert en informatique : $\log_2(1024) = 10$.
Domaines : carrés et valeurs absolues
- $\ln(x^2) = 2 \ln x$ n'est vrai que pour $x > 0$. Pour tout $x \neq 0$ : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.
- $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ exige $a > 0$ et $b > 0$. Si $a < 0$ et $b < 0$, on écrit $\ln(ab) = \ln|a| + \ln|b|$.
- La fonction $x \mapsto \ln|x|$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, de dérivée $\dfrac{1}{x}$. Plus généralement, si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle, $(\ln|u|)' = \dfrac{u'}{u}$.
- Il n'existe aucune formule pour $\ln(a + b)$.
Une équation où le domaine élimine une solution
On résout $\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6$.
Domaine : il faut $x > 0$ et $x - 1 > 0$, soit $x > 1$. Sur ce domaine, l'équation s'écrit $\ln\big(x(x-1)\big) = \ln 6$, soit, par injectivité de $\ln$, $x^2 - x - 6 = 0$, c'est-à-dire $(x - 3)(x + 2) = 0$.
La valeur $-2$ n'appartient pas au domaine. L'ensemble des solutions est $\{3\}$.