Deux inégalités fondamentales : énoncé (MPSI)
Deux inégalités fondamentales
$$\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq 1 + x \qquad\text{et}\qquad \forall x > -1,\quad \ln(1 + x) \leq x,$$ avec égalité si et seulement si $x = 0$. Géométriquement, la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$, et celle de $x \mapsto \ln(1+x)$ est au-dessous de sa tangente en $0$. Avec $t = 1 + x$, la seconde s'écrit aussi $\ln t \leq t - 1$ pour tout $t > 0$.
Démonstration : Deux inégalités fondamentales
Preuve des deux inégalités
Soit $g(x) = e^x - 1 - x$ sur $\mathbb{R}$. On a $g'(x) = e^x - 1$, strictement négatif sur $]-\infty, 0[$ et strictement positif sur $]0, +\infty[$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 0]$, strictement croissante sur $[0, +\infty[$, et admet en $0$ un minimum strict $g(0) = 0$. Ainsi $g(x) \geq 0$ pour tout $x$, avec égalité seulement en $0$.
Soit $x > -1$. En appliquant ce résultat au réel $\ln(1+x)$ : $e^{\ln(1+x)} \geq 1 + \ln(1+x)$, soit $1 + x \geq 1 + \ln(1+x)$, d'où $\ln(1+x) \leq x$. L'égalité impose $\ln(1+x) = 0$, soit $x = 0$.
S’entraîner
- Réciproque de la tangente hyperbolique
- Exprimer arcsin à l'aide de arctan
- Une identité valable par morceaux