Propriétés du logarithme : énoncé (MPSI)
Propriétés du logarithme
- $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, dérivable, avec $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.
- Pour tous $x, y > 0$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ : $$\ln(xy) = \ln x + \ln y,\quad \ln\frac{1}{x} = -\ln x,\quad \ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y,\quad \ln(x^n) = n \ln x.$$
- $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.
- $\ln x < 0$ sur $]0, 1[$ et $\ln x > 0$ sur $]1, +\infty[$.
- Limites usuelles : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
Démonstration : Propriétés du logarithme
Preuve des propriétés du logarithme
Dérivée. $\exp$ est dérivable et $\exp' = \exp$ ne s'annule pas. D'après le théorème de dérivation des réciproques, $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $$\ln'(x) = \frac{1}{\exp'(\ln x)} = \frac{1}{\exp(\ln x)} = \frac{1}{x}.$$ Produit. Pour $x, y > 0$ : $\exp(\ln x + \ln y) = \exp(\ln x)\exp(\ln y) = xy$. Par définition de $\ln$, cela signifie $\ln(xy) = \ln x + \ln y$. Avec $y = \frac{1}{x}$ : $\ln x + \ln\frac{1}{x} = \ln 1 = 0$. Le quotient s'en déduit. La formule $\ln(x^n) = n \ln x$ se prouve par récurrence pour $n \in \mathbb{N}$, puis s'étend à $n < 0$ par la formule de l'inverse.
Limites aux bornes. $\ln$ est strictement croissante et réalise une bijection de $]0, +\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : elle n'est ni majorée ni minorée, donc ses limites en $+\infty$ et en $0^+$ sont $+\infty$ et $-\infty$.
Limites usuelles. Ce sont des taux d'accroissement : $\dfrac{\ln(1+x) - \ln 1}{x} \to \ln'(1) = 1$ et $\dfrac{e^x - e^0}{x} \to \exp'(0) = 1$.