Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Pôle multiple
Pôle multiple : méthode (MPSI)
Méthode
Pôle multiple
Soit $a$ un pôle de multiplicité $m\geqslant 2$, de partie polaire $\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\frac{\lambda_j}{(X-a)^j}$.
- Coefficient de plus haut ordre : on multiplie $F$ par $(X-a)^m$ et on évalue en $a$. Si $Q=(X-a)^mQ_1$, alors $\lambda_m=\dfrac{P(a)}{Q_1(a)}$.
- Autres coefficients, au choix :
- limite de $xF(x)$ quand $x\to+\infty$ (lorsque $\deg F<0$) : elle vaut la somme des coefficients des termes en $\dfrac{1}{X-a_k}$ ;
- évaluation en un point simple qui n'est pas un pôle (souvent $0$) ;
- parité de $F$ ou conjugaison, combinées à l'unicité ;
- changement de variable $X=a+h$ quand $a$ est le seul pôle : on écrit le numérateur en puissances de $h$.
- On vérifie en évaluant les deux membres en un point non utilisé.
Exemple
Un pôle double
Soit $F=\dfrac{1}{X(X-1)^2}$. Sa partie entière est nulle et $$F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X-1)^2}.$$
- Pôle simple $0$ : $a=\dfrac{1}{(0-1)^2}=1$.
- Multiplication par $(X-1)^2$ et évaluation en $1$ : $c=\dfrac11=1$.
- Limite de $xF(x)$ en $+\infty$ : $xF(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}\to 0$, et $x\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^2}\right)\to a+b$. Donc $b=-a=-1$.
$$\frac{1}{X(X-1)^2}=\frac{1}{X}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}.$$ Vérification : $(X-1)^2-X(X-1)+X=X^2-2X+1-X^2+X+X=1$.
Exemple
Un seul pôle : changement de variable
Soit $F=\dfrac{X^2}{(X-1)^3}$. On pose $X=1+h$ : $X^2=1+2h+h^2$, donc $$F=\frac{1+2h+h^2}{h^3}=\frac{1}{h^3}+\frac{2}{h^2}+\frac{1}{h},$$ c'est-à-dire $$\frac{X^2}{(X-1)^3}=\frac{1}{(X-1)^3}+\frac{2}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}.$$