Coefficient relatif à un pôle simple : énoncé (MPSI)
Coefficient relatif à un pôle simple
Soit $F=\dfrac{P}{Q}$ et $a$ une racine simple de $Q$. Le coefficient de $\dfrac{1}{X-a}$ dans la décomposition de $F$ est $$\lambda=\frac{P(a)}{Q'(a)}=\frac{P(a)}{Q_1(a)}\quad\text{où } Q=(X-a)Q_1.$$
Démonstration : Coefficient relatif à un pôle simple
Pôle simple
Écrivons $Q=(X-a)Q_1$ avec $Q_1(a)\neq 0$ puisque $a$ est racine simple. D'après le théorème, $F=\dfrac{\lambda}{X-a}+G$ où $G$ est la somme des autres termes, qui n'admet pas $a$ pour pôle. En multipliant par $X-a$ : $$\frac{P}{Q_1}=\lambda+(X-a)G.$$ Les deux membres sont définis en $a$ ; en évaluant en $a$ on obtient $\lambda=\dfrac{P(a)}{Q_1(a)}$. Enfin $Q'=Q_1+(X-a)Q_1'$ donne $Q'(a)=Q_1(a)$.
Décomposition de 1/(X^n - 1)
Soit $n\geqslant 1$ et $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour $0\leqslant k\leqslant n-1$. On a $X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega_k)$ et les pôles sont simples. Avec $P=1$, $Q=X^n-1$, $Q'=nX^{n-1}$ : $$\lambda_k=\frac{1}{n\omega_k^{n-1}}=\frac{\omega_k}{n\,\omega_k^{n}}=\frac{\omega_k}{n}.$$ La partie entière est nulle (degré $-n<0$), donc $$\frac{1}{X^n-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega_k}{X-\omega_k}.$$ Vérification pour $n=2$ : $\dfrac12\left(\dfrac{1}{X-1}-\dfrac{1}{X+1}\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{2}{X^2-1}$.
Fin de l'exemple de la partie entière
On avait $F=X+\dfrac{3X}{X^2-1}$. Les pôles $1$ et $-1$ sont simples ; avec $P=3X$ et $Q'=2X$ : $$\lambda_1=\frac{3}{2},\qquad \lambda_{-1}=\frac{-3}{-2}=\frac32.$$ Donc $F=X+\dfrac{3/2}{X-1}+\dfrac{3/2}{X+1}$.
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Dans le cours
Fractions rationnelles : Coefficient relatif à un pôle simple