Décomposition en éléments simples sur C : énoncé (MPSI)

Soit $F=\dfrac{P}{Q}\in\mathbb{C}(X)$ irréductible, avec $Q=c\prod_{k=1}^{r}(X-a_k)^{m_k}$, les $a_k$ distincts deux à deux. Il existe une unique famille de complexes $(\lambda_{k,j})_{1\leqslant k\leqslant r,\ 1\leqslant j\leqslant m_k}$ telle que $$F=E+\sum_{k=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_k}\frac{\lambda_{k,j}}{(X-a_k)^j},$$ où $E$ est la partie entière de $F$. De plus $\lambda_{k,m_k}\neq 0$ pour tout $k$.

La somme $\displaystyle\sum_{j=1}^{m_k}\frac{\lambda_{k,j}}{(X-a_k)^j}$ est la partie polaire de $F$ relative au pôle $a_k$.