Forme d'une orbite : énoncé (MPSI)
Forme d'une orbite
Soit $x \in [\![1,n]\!]$ et $p$ le plus petit entier $p \geqslant 1$ tel que $\sigma^p(x)=x$. Alors $$\mathcal{O}(x)=\{x,\sigma(x),\dots,\sigma^{p-1}(x)\},$$ ces $p$ éléments étant distincts. L'orbite est réduite à $\{x\}$ si et seulement si $x$ est un point fixe.
Démonstration : Forme d'une orbite
Preuve
Le groupe $\mathfrak{S}_n$ étant fini, $\sigma$ est d'ordre fini $d$, donc $\sigma^d(x)=x$ : l'entier $p$ existe.
Si $0 \leqslant i<j \leqslant p-1$ et $\sigma^i(x)=\sigma^j(x)$, alors $\sigma^{j-i}(x)=x$ avec $1 \leqslant j-i<p$ : contradiction. Les éléments listés sont donc distincts.
Soit $m \in \mathbb{Z}$. La division euclidienne donne $m=qp+r$ avec $0 \leqslant r<p$. Comme $\sigma^p(x)=x$, on a $\sigma^{qp}(x)=x$ pour tout $q\in\mathbb{Z}$, donc $\sigma^m(x)=\sigma^r(x)$. D'où l'égalité d'ensembles.