Décomposition en cycles à supports disjoints : énoncé (MPSI)

Existence. Soit $\mathcal{O}_1,\dots,\mathcal{O}_r$ les orbites de $\sigma$ de cardinal au moins 2. Pour chacune, on choisit $x_i \in \mathcal{O}_i$, on note $p_i=|\mathcal{O}_i|$ et $$c_i=(x_i\ \ \sigma(x_i)\ \ \cdots\ \ \sigma^{p_i-1}(x_i)).$$ D'après la forme des orbites, $c_i$ est un $p_i$-cycle de support $\mathcal{O}_i$, et $c_i$ coïncide avec $\sigma$ sur $\mathcal{O}_i$ (l'image de $\sigma^{p_i-1}(x_i)$ est $\sigma^{p_i}(x_i)=x_i$). Les orbites étant disjointes, les $c_i$ commutent.

Vérifions $\sigma=c_1\cdots c_r$. Soit $y$.

• Si $y \in \mathcal{O}_i$ : les $c_j$, $j\neq i$, fixent $y$ et $c_i(y)=\sigma(y)$, qui est encore dans $\mathcal{O}_i$ donc fixé par les $c_j$, $j \neq i$. En plaçant $c_i$ en tête (les facteurs commutent), $c_1\cdots c_r(y)=c_i(y)=\sigma(y)$.
• Si $y$ n'est dans aucun $\mathcal{O}_i$ : son orbite est $\{y\}$, donc $\sigma(y)=y$, et tous les $c_j$ fixent $y$.

Unicité. Supposons $\sigma=c'_1\cdots c'_s$ avec des cycles à supports disjoints. Soit $y \in \mathrm{Supp}(c'_j)$ : comme ci-dessus, $\sigma^m(y)=c'^m_j(y)$ pour tout $m$, donc l'orbite de $y$ sous $\sigma$ est l'orbite de $y$ sous le cycle $c'_j$, c'est-à-dire $\mathrm{Supp}(c'_j)$. Les supports des $c'_j$ sont donc des orbites de $\sigma$ de cardinal au moins 2 ; inversement un point non fixe de $\sigma$ est dans l'un de ces supports. Les supports sont donc exactement $\mathcal{O}_1,\dots,\mathcal{O}_r$, et sur chacun le cycle coïncide avec $\sigma$ : il est entièrement déterminé.