Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Décomposer une permutation en cycles disjoints
Décomposer une permutation en cycles disjoints : méthode (MPSI)
Méthode
Décomposer une permutation en cycles disjoints
- Prendre le plus petit élément non encore traité $x$.
- Calculer $\sigma(x)$, $\sigma^2(x)$, … jusqu'à revenir à $x$. Écrire le cycle $(x\ \sigma(x)\ \cdots)$.
- Recommencer avec le plus petit élément non encore rencontré.
- Omettre les cycles de longueur 1 (points fixes).
- Contrôle : chaque entier de $[\![1,n]\!]$ apparaît au plus une fois, et la somme des longueurs plus le nombre de points fixes vaut $n$.
Exemple
Une permutation de $\mathfrak{S}_8$
Soit $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 3&5&7&8&2&6&1&4\end{pmatrix}.$$
- Depuis 1 : $1\mapsto3\mapsto7\mapsto1$, cycle $(1\ 3\ 7)$.
- Depuis 2 : $2\mapsto5\mapsto2$, cycle $(2\ 5)$.
- Depuis 4 : $4\mapsto8\mapsto4$, cycle $(4\ 8)$.
- 6 est fixe.
Donc $\sigma=(1\ 3\ 7)(2\ 5)(4\ 8)$. Contrôle : $3+2+2+1=8$.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Signature par les inversions
- Conjugaison de permutations
Dans le cours
Groupe symétrique : Décomposer une permutation en cycles disjoints