Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Orbite d'un élément
Orbite d'un élément : définition (MPSI)
Définition
Orbite d'un élément
Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. On définit sur $[\![1,n]\!]$ la relation $x \sim y \iff \exists m \in \mathbb{Z},\ y=\sigma^m(x)$.
C'est une relation d'équivalence (réflexive avec $m=0$, symétrique avec $-m$, transitive en ajoutant les exposants). Ses classes sont les orbites de $\sigma$ : l'orbite de $x$ est $\mathcal{O}(x)=\{\sigma^m(x) \mid m \in \mathbb{Z}\}$. Les orbites forment une partition de $[\![1,n]\!]$.
S’entraîner
- Ordre maximal d'un élément de $\mathfrak{S}_7$
- Carrés dans le groupe symétrique
- Générateurs de $\mathfrak{A}_n$ et morphismes vers $\mathbb{C}^*$ (type Mines-Ponts)