Ordre d'une permutation : énoncé (MPSI)
Ordre d'une permutation
Si $\sigma=c_1\cdots c_r$ est la décomposition en cycles disjoints, de longueurs $k_1,\dots,k_r$, alors l'ordre de $\sigma$ est $\mathrm{ppcm}(k_1,\dots,k_r)$.
Démonstration : Ordre d'une permutation
Preuve
Les $c_i$ commutent, donc pour $m \in \mathbb{N}$, $\sigma^m=c_1^m\cdots c_r^m$. La permutation $c_i^m$ a son support inclus dans $\mathrm{Supp}(c_i)$, et ces ensembles sont stables et disjoints : sur $\mathrm{Supp}(c_i)$, $\sigma^m$ agit comme $c_i^m$.
Ainsi $\sigma^m=\mathrm{id}$ si et seulement si $c_i^m=\mathrm{id}$ pour tout $i$, c'est-à-dire $k_i \mid m$ pour tout $i$ (un $k_i$-cycle est d'ordre $k_i$), c'est-à-dire $\mathrm{ppcm}(k_1,\dots,k_r)\mid m$. Le plus petit $m\geqslant1$ est ce ppcm.
Ordre, suite
Pour $\sigma=(1\ 3\ 7)(2\ 5)(4\ 8)$, l'ordre est $\mathrm{ppcm}(3,2,2)=6$ et non $3\times2\times2=12$.
Dans $\mathfrak{S}_5$, une permutation de type $(a\ b)(c\ d\ e)$ est d'ordre $\mathrm{ppcm}(2,3)=6$, alors qu'aucun élément de $\mathfrak{S}_5$ n'est un 6-cycle.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Ordre maximal d'un élément de $\mathfrak{S}_7$
- Éléments d'ordre 2 et d'ordre 3 de $\mathfrak{S}_6$
- Signature du battage parfait