Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Fonction continue par morceaux
Fonction continue par morceaux : définition (MPSI)
Définition
Fonction continue par morceaux
Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(x_0,\dots,x_n)$ de $[a,b]$ telle que, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$ :
- la restriction de $f$ à $]x_{i-1},x_i[$ est continue ;
- cette restriction admet une limite finie à droite en $x_{i-1}$ et à gauche en $x_i$.
Autrement dit, la restriction de $f$ à chaque $]x_{i-1},x_i[$ se prolonge en une fonction continue sur $[x_{i-1},x_i]$.
Sur un intervalle quelconque $I$, $f$ est continue par morceaux si sa restriction à tout segment inclus dans $I$ l'est.
Exemple
Exemples et contre-exemples
- La partie entière $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ est en escalier sur $[0,3]$ : la subdivision $(0,1,2,3)$ est adaptée, avec les valeurs $0$, $1$, $2$.
- La fonction $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$ est continue par morceaux sur $[0,2]$ : sur $]0,1[$ elle vaut $x$, sur $]1,2[$ elle vaut $x-1$, et les limites aux bornes sont finies.
- Toute fonction continue sur $[a,b]$ est continue par morceaux (subdivision $(a,b)$). Toute fonction en escalier est continue par morceaux.
- La fonction définie par $f(x)=\frac1x$ si $x\in]0,1]$ et $f(0)=0$ n'est pas continue par morceaux sur $[0,1]$ : la limite en $0^+$ est infinie.
- La fonction définie par $f(x)=\sin\frac1x$ si $x\in]0,1]$ et $f(0)=0$ n'est pas continue par morceaux : elle n'a pas de limite en $0^+$.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
- Concentration de $nt^n$ au voisinage de $1$