Inégalité de Cauchy-SchwarzThéorème fondamental de l'analyseIntégrale nulle d'une fonction continue positive
Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0)=0$. On note $C=\int_0^1f'(t)^2\,\mathrm{d}t$.
- Montrer que, pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)^2\le x\,C$.
- En déduire que $\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x\le\frac12\int_0^1f'(x)^2\,\mathrm{d}x$.
- Montrer que l'inégalité de la question 2 est stricte dès que $f$ n'est pas la fonction nulle.
Indice 1
Écrire $f(x)=\int_0^xf'(t)\,\mathrm{d}t$ et appliquer Cauchy-Schwarz sur $[0,x]$ avec la fonction constante $1$.
Indice 2
Intégrer l'inégalité de la question 1 sur $[0,1]$.
Indice 3
En cas d'égalité, la fonction $x\mapsto Cx-f(x)^2$ est continue, positive et d'intégrale nulle. Distinguer ensuite $C=0$ et $C>0$.
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