Exercice 12 · Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
approfondissement●●●Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. Pour $\lambda>0$, on pose $$I(\lambda)=\int_a^bf(t)\sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad K(\lambda)=\int_a^bf(t)\cos(\lambda t)\,\mathrm{d}t.$$
- Montrer que, pour tout $\lambda>0$, $$|I(\lambda)|\le\frac1\lambda\left(|f(a)|+|f(b)|+\int_a^b|f'(t)|\,\mathrm{d}t\right).$$
- En déduire $\lim_{\lambda\to+\infty}I(\lambda)$, puis montrer que $K(\lambda)$ tend aussi vers $0$.
- Application : déterminer $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1e^t\sin^2(nt)\,\mathrm{d}t$.
Intégrer par parties en intégrant $\sin(\lambda t)$ : une primitive est $-\frac{\cos(\lambda t)}{\lambda}$, qui fait apparaître le facteur $\frac1\lambda$.
Majorer $|\cos|$ par $1$ dans le crochet et dans l'intégrale restante.
Linéariser : $\sin^2u=\frac{1-\cos(2u)}{2}$.
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Soit $\lambda>0$. On intègre par parties avec $u'(t)=\sin(\lambda t)$, $u(t)=-\frac{\cos(\lambda t)}{\lambda}$, $v=f$, $v'=f'$, fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ : $$I(\lambda)=\left[-\frac{f(t)\cos(\lambda t)}{\lambda}\right]_a^b+\frac1\lambda\int_a^bf'(t)\cos(\lambda t)\,\mathrm{d}t.$$ Le crochet vaut $\frac{f(a)\cos(\lambda a)-f(b)\cos(\lambda b)}{\lambda}$, de valeur absolue au plus $\frac{|f(a)|+|f(b)|}{\lambda}$. Par l'inégalité triangulaire ($a\le b$) et $|\cos|\le1$ : $$\left|\int_a^bf'(t)\cos(\lambda t)\,\mathrm{d}t\right|\le\int_a^b|f'(t)|\,\mathrm{d}t.$$ D'où l'inégalité annoncée.
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La quantité $A=|f(a)|+|f(b)|+\int_a^b|f'|$ ne dépend pas de $\lambda$. Donc $|I(\lambda)|\le\frac A\lambda\to0$, et $I(\lambda)\to0$ quand $\lambda\to+\infty$.
Pour $K$, on intègre par parties avec $u(t)=\frac{\sin(\lambda t)}{\lambda}$ : $$K(\lambda)=\left[\frac{f(t)\sin(\lambda t)}{\lambda}\right]_a^b-\frac1\lambda\int_a^bf'(t)\sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t,$$ et les mêmes majorations donnent $|K(\lambda)|\le\frac A\lambda\to0$.
- Pour tout $t$, $\sin^2(nt)=\frac{1-\cos(2nt)}{2}$. Par linéarité : $$\int_0^1e^t\sin^2(nt)\,\mathrm{d}t=\frac12\int_0^1e^t\,\mathrm{d}t-\frac12\int_0^1e^t\cos(2nt)\,\mathrm{d}t=\frac{e-1}{2}-\frac12K(2n),$$ où $K$ est associé à $f=\exp$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. Comme $2n\to+\infty$, $K(2n)\to0$. Donc la limite vaut $\frac{e-1}{2}$.
Remarque. Le résultat reste vrai pour $f$ seulement continue par morceaux (approximation par des fonctions en escalier), mais la preuve est plus délicate.
$\lim I(\lambda)=\lim K(\lambda)=0$ ; limite $\frac{e-1}{2}$