Intégration par partiesContinuité et quantificateursRelation de ChaslesInégalité de la moyenne
Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $u_n=n\int_0^1t^nf(t)\,\mathrm{d}t$.
- On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $u_n\to f(1)$.
- On suppose seulement $f$ continue. Montrer que $u_n\to f(1)$.
- Application : déterminer $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{nt^n}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$.
Indice 1
Question 1 : intégrer $t^n$ et dériver $f$ ; la fonction $f'$ est bornée sur le segment.
Indice 2
Question 2 : écrire $u_n-\frac{n}{n+1}f(1)=n\int_0^1t^n\big(f(t)-f(1)\big)\,\mathrm{d}t$.
Indice 3
Fixer $\varepsilon>0$, choisir $\eta$ grâce à la continuité en $1$ et couper l'intégrale en $1-\eta$.
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