Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Appliquer Taylor-Lagrange
Appliquer Taylor-Lagrange : méthode (MPSI)
Méthode
Appliquer Taylor-Lagrange
Pour majorer l'erreur d'une approximation polynomiale, ou montrer qu'une suite de sommes converge vers $f(x)$ :
- Vérifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $x$.
- Calculer les $f^{(k)}(a)$ pour écrire le polynôme de Taylor ; une formule générale pour $f^{(k)}$ s'obtient souvent par récurrence.
- Majorer $|f^{(n+1)}|$ sur tout le segment entre $a$ et $x$, pas seulement en $a$.
- Écrire l'inégalité, puis étudier la limite du majorant quand $n\to+\infty$ (croissances comparées).
Remarque
Formule de Taylor-Lagrange avec égalité
Pour une fonction réelle, il existe une version avec égalité, $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ pour un certain $c$ entre $a$ et $x$. Elle n'est pas au programme de MPSI et elle est fausse pour les fonctions à valeurs complexes. Seule l'inégalité est exigible ; elle reste vraie dans $\mathbb{C}$.
S’entraîner
- Approximation de $\cos$ par Taylor-Lagrange
- Encadrement du logarithme par le reste intégral
- Erreur de la méthode des rectangles au premier ordre (type Mines-Ponts)