Inégalité de Taylor-Lagrange : énoncé (MPSI)

Soit $x\in\mathbb{R}$. La fonction $\exp$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, toutes ses dérivées valent $\exp$, et pour $t$ entre $0$ et $x$, $e^t\le e^{|x|}$. Taylor-Lagrange en $a=0$ donne, pour tout $n$ : $$\left|e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right|\le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}.$$ Par croissances comparées, $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0$. Donc $$e^x=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}.$$ Application numérique avec $x=1$ et $e\le3$ : l'erreur commise en remplaçant $e$ par $\sum_{k=0}^{5}\frac1{k!}$ est au plus $\frac{3}{6!}=\frac{3}{720}<0{,}0042$. On calcule $\sum_{k=0}^{5}\frac{1}{k!}=1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\frac1{120}=\frac{326}{120}\approx2{,}7167$, et effectivement $e\approx2{,}7183$.

Soit $f(x)=\ln(1+x)$ sur $I=]-1,+\infty[$. Par récurrence, pour $k\ge1$, $f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$. En particulier $f(0)=0$ et $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1)^{k-1}}{k}$.

Sur $[0,1]$, $|f^{(n+1)}(t)|=\frac{n!}{(1+t)^{n+1}}\le n!$. Taylor-Lagrange entre $0$ et $1$ : $$\left|\ln2-\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right|\le\frac{n!\times1^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$ Donc $\ln2=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac12+\frac13-\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)$. La convergence est lente : l'erreur est majorée par $\frac{1}{n+1}$.

Les dérivées successives de $\sin$ en $0$ valent $0,1,0,-1,0$. Le polynôme de Taylor d'ordre $4$ en $0$ est donc $x-\frac{x^3}{6}$. La dérivée cinquième est $\cos$, bornée par $1$. Pour tout réel $x$ : $$\left|\sin x-x+\frac{x^3}{6}\right|\le\frac{|x|^5}{120}.$$ Pour $x=0{,}1$, l'approximation $\sin0{,}1\approx0{,}1-\frac{0{,}001}{6}$ est exacte à moins de $10^{-7}$ près.