Formule de Taylor avec reste intégralPositivité de l'intégraleApproximation numérique
Soit $f(x)=\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.
- Calculer $f'$, $f''$, $f^{(3)}$ et $f^{(4)}$.
- À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral en $0$, montrer que, pour tout $x\ge0$, $$x-\frac{x^2}{2}\le\ln(1+x)\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$
- En déduire un encadrement de $\ln(1{,}1)$.
Indice 1
Écrire la formule à l'ordre $2$ pour la minoration et à l'ordre $3$ pour la majoration.
Indice 2
Il suffit d'étudier le signe de l'intégrande du reste, les bornes $0$ et $x$ étant dans l'ordre croissant.
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