Exercice corrigé : Erreur de la méthode des rectangles au premier ordre (type Mines-Ponts)

Pour $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue et $n\in\mathbb{N}^*$, on note $$S_n(f)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac kn\right),\quad S'_n(f)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right),\quad R_n(f)=S'_n(f)-\int_0^1f.$$

1. On prend $f(x)=x^2$. Calculer $R_n(f)$ et la limite de $nR_n(f)$.

Dans la suite, $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0,1]$, $M_2=\sup_{[0,1]}|f''|$, $h=\frac1n$ et $x_k=\frac kn$.

2. Montrer que, pour $k\in\{1,\dots,n\}$ et $t\in[x_{k-1},x_k]$, $$\big|f(t)-f(x_k)-(t-x_k)f'(x_k)\big|\le\frac{M_2}{2}(t-x_k)^2.$$
3. En déduire que, pour $k\in\{1,\dots,n\}$, $$\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)\,\mathrm{d}t-hf(x_k)+\frac{h^2}{2}f'(x_k)\right|\le\frac{M_2h^3}{6}.$$
4. Montrer que $nR_n(f)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{f(1)-f(0)}{2}$.
5. Application : on pose $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$. Montrer que $u_n=\frac\pi4-\frac{1}{4n}+o\left(\frac1n\right)$.
6. Déterminer la limite de $n\left(S_n(f)-\int_0^1f\right)$, puis celle de $n\left(\frac{S_n(f)+S'_n(f)}{2}-\int_0^1f\right)$. Interpréter.