Inégalité de Taylor-LagrangeApproximation numérique
- Montrer que, pour tout réel $x$, $$\left|\cos x-1+\frac{x^2}{2}\right|\le\frac{x^4}{24}.$$
- En déduire une valeur approchée de $\cos(0{,}2)$ et majorer l'erreur commise.
Indice 1
Calculer les dérivées de $\cos$ en $0$ jusqu'à l'ordre $3$ : le polynôme de Taylor d'ordre $3$ n'a pas de terme en $x^3$.
Indice 2
Appliquer Taylor-Lagrange à l'ordre $n=3$ : il faut majorer la dérivée quatrième sur tout le segment entre $0$ et $x$.
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