Formule de Taylor avec reste intégral : énoncé (MPSI)

On fixe $a$ et $x$ dans $I$. Pour $n\in\mathbb{N}$, soit $\mathcal{P}(n)$ : « pour toute $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$, la formule est vraie à l'ordre $n$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, la formule s'écrit $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\,\mathrm{d}t$ : c'est le théorème fondamental, $f'$ étant continue.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ et soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+2}$. Elle est a fortiori $\mathcal{C}^{n+1}$, donc $f(x)=T_n(x)+\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$.

On intègre par parties, la variable étant $t$ et $x$ fixé : $$u'(t)=\frac{(x-t)^n}{n!},\quad u(t)=-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!},\quad v(t)=f^{(n+1)}(t),\quad v'(t)=f^{(n+2)}(t).$$ Ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^1$. Il vient $$\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t=\left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_a^x+\int_a^x\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\,\mathrm{d}t.$$ Le crochet vaut $0-\left(-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)\right)=\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$, qui est exactement le terme d'indice $n+1$ du polynôme de Taylor. D'où $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.