Dérivée d'une intégrale à bornes variables : énoncé (MPSI)
Dérivée d'une intégrale à bornes variables
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $u,v$ dérivables sur un intervalle $J$, à valeurs dans $I$. Alors $G:x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $J$ et $$G'(x)=v'(x)\,f\big(v(x)\big)-u'(x)\,f\big(u(x)\big).$$ Preuve. Avec $F$ une primitive de $f$ sur $I$, $G=F\circ v-F\circ u$. On dérive les composées.
Étude d'une fonction définie par une intégrale
Soit $G(x)=\int_x^{2x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, mais n'a pas de primitive explicite : on ne calcule pas $G$, on la dérive. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=2x$ : $$G'(x)=2e^{-4x^2}-e^{-x^2}=e^{-x^2}\left(2e^{-3x^2}-1\right).$$ On a $G'(x)>0\iff e^{-3x^2}>\frac12\iff x^2<\frac{\ln2}{3}$. Donc $G$ est croissante sur $\left[-\sqrt{\tfrac{\ln 2}{3}},\sqrt{\tfrac{\ln 2}{3}}\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt{\tfrac{\ln2}{3}},+\infty\right[$ et sur $\left]-\infty,-\sqrt{\tfrac{\ln2}{3}}\right]$.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Encadrement du logarithme par le reste intégral
- Intégrales $\int_0^{\pi/4}\tan^nx\,\mathrm{d}x$ et séries alternées (type CCINP)
Dans le cours
Intégration sur un segment : Dérivée d'une intégrale à bornes variables