Prépa, 1re année › Intégration sur un segment › Calcul d'une intégrale par une primitive
Calcul d'une intégrale par une primitive : énoncé (MPSI)
Propriété
Calcul d'une intégrale par une primitive
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$, et $a,b\in I$. Alors $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\big[G(t)\big]_a^b=G(b)-G(a).$$ En particulier, si $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ : $g(b)-g(a)=\int_a^b g'(t)\,\mathrm{d}t$.
Justification. $G-F$ est constante sur l'intervalle $I$, avec $F$ la primitive du théorème ; donc $G(b)-G(a)=F(b)-F(a)=\int_a^b f$.
S’entraîner
- Intégrale de la fonction en escalier $t\mapsto\lfloor t^2\rfloor$
- Sommes de Riemann sur $[0,1]$ puis sur $[0,2]$
- Une fonction définie par une intégrale à bornes variables
- Cauchy-Schwarz et inégalité de type Poincaré
- Changement de variable $t=\pi-x$ et symétrie
Dans le cours
Intégration sur un segment : Calcul d'une intégrale par une primitive